Applicazione di quadratici a situazioni di vita reale

Di Mary Jane Sterling

Le equazioni quadratiche si prestano a modellare situazioni che accadono nella vita reale, come l'aumento e la diminuzione dei profitti derivanti dalla vendita di beni, la diminuzione e l'aumento del tempo necessario per percorrere un miglio in base alla tua età e così via.



La parte meravigliosa di avere qualcosa che può essere modellato da un quadratico è che puoi facilmente risolvere l'equazione quando impostato uguale a zero e prevedere i modelli nei valori della funzione.



Il vertice e X -Le intercettazioni sono particolarmente utili. Queste intercettazioni ti dicono dove i numeri cambiano da positivo a negativo o da negativo a positivo, quindi sai, ad esempio, dove si trova il terreno in un problema di fisica o quando inizieresti a realizzare un profitto o a perdere denaro in un'impresa commerciale.

Il vertice ti dice dove puoi trovare il costo massimo o minimo assoluto, il profitto, la velocità, l'altezza, il tempo o qualunque cosa tu stia modellando.



Domanda di esempio

  1. Nel 1972 si poteva acquistare una cometa di mercurio per circa 3.200 dollari. Le auto possono deprezzarsi di valore abbastanza rapidamente, ma una Comet del 1972 in ottime condizioni può valere molti soldi per un collezionista oggi.

    Lascia che il valore di una di queste comete sia modellato dalla funzione quadratica v ( t ) = 18,75 t Due- 450 t + 3.200, dove t è il numero di anni dal 1972. Quando è il valore della funzione uguale a 0 (che cos'è un? X -intercept), qual era il valore più basso dell'auto e qual era il suo valore nel 2010?

    Il valore dell'auto non è mai sceso a 0, il valore più basso è stato di $ 500 e l'auto valeva $ 13.175 nell'anno 2010. In questo modello, il -intercept rappresenta il valore iniziale. quando t = 0, la funzione è v (0) = 3.200, che corrisponde al prezzo di acquisto.



    Trovare la X -intercetta risolvendo 18.75 t Due–450 t + 3.200 = 0. Usando la formula quadratica (potresti provare a scomporre in fattori, ma è un po' una sfida e, a quanto pare, l'equazione non fattorizza), ottieni -37.500 sotto il radicale nella formula. Non puoi ottenere una soluzione con numeri reali, quindi il grafico non ha X -intercettare. Il valore della Cometa non scende mai a 0.

    Trova il valore più basso determinando il vertice. Usando la formula,

    immagine0.jpg

    Questa coordinata ti dice che a 12 anni dall'inizio (1984 - aggiungi 12 a 1972), il valore della Cometa è al minimo. Sostituisci il t è nella formula con 12 e ottieni v (12) = 18,75 (12)Due- 450 (12) + 3.200 = 500.

    La Comet valeva 0 nel 1984. Per trovare il valore dell'auto nel 2010, si lascia t = 38, perché l'anno 2010 è di 38 anni dopo il 1972. Il valore dell'auto nel 2010 è v (38) = 18,75 (38)Due- 450 (38) + 3.200 = $ 13.175.

Domande pratiche

  1. L'altezza di una palla t secondi dopo essere stato lanciato in aria dalla cima di un edificio può essere modellato da h ( t ) = –16 t Due+ 48 t + 64, dove h ( t ) è l'altezza in piedi. Quanto è alto l'edificio, quanto sale la palla prima di iniziare a scendere e dopo quanti secondi la palla tocca terra?

  2. La funzione di profitto che dice a Georgio quanti soldi ricaverà per produrre e vendere X gli ombrelli speciali sono dati da P ( X ) = –0,00405 X Due+ 8.15 X - 100.

    Qual è la perdita di Georgio se non vende nessuno degli ombrelli che produce, quanti ombrelli deve vendere per raggiungere il pareggio e quanti deve vendere per guadagnare il massimo profitto possibile?

  3. Chip ha attraversato un labirinto in meno di un minuto la prima volta che ci ha provato. I suoi tempi sono migliorati per un po' con ogni nuovo tentativo, ma poi i suoi tempi sono peggiorati (ha impiegato più tempo) a causa della fatica.

    Il tempo impiegato da Chip per percorrere il labirinto sul per il tentativo può essere modellato da T ( per ) = 0,5 per Due- 9 per + 48.5. Quanto tempo ha impiegato Chip per percorrere il labirinto la prima volta e qual è stato il suo miglior tempo?

  4. Un sottopasso autostradale è di forma parabolica. Se la curva del sottopassaggio può essere modellata da h ( X ) = 50 - 0,02 X Due, dove X e h ( X ) sono in piedi, allora quanto è alto il punto più alto del sottopassaggio, e quanto è largo?

Di seguito le risposte alle domande pratiche:

  1. L'edificio è alto 64 piedi, la palla raggiunge un picco di 100 piedi e impiega 4 secondi per colpire il suolo.

    La palla viene lanciata dalla cima dell'edificio, quindi vuoi l'altezza della palla quando t = 0. Questo numero è l'iniziale t valore (il -intercettare). quando t = 0, h = 64, quindi l'edificio è alto 64 piedi.

    La palla è al suo punto più alto al vertice della parabola. Calcolare il t valore, si ottiene che il vertice si verifica dove t = 1,5 secondi. sostituzione t = 1.5 nella formula, ottieni che h = 100 piedi.

    La palla tocca terra quando h = 0. Risolvere –16 t Due+ 48 t + 64 = 0, si fattorizza per ottenere –16( t - 4)( t + 1) = 0. La soluzione t = 4 ti dice quando la palla tocca terra.

    Il t = -1 rappresenta l'andare indietro nel tempo, o in questo caso, dove la palla sarebbe partita se fosse stata lanciata da terra, non dalla cima di un edificio.

  2. Georgio perde $ 100 (guadagna – $ 100) se vende 0, deve vendere 13 per raggiungere il pareggio e può massimizzare i profitti se vende 1.006 ombrelli.

    Se Georgio non vende ombrelli, allora X = 0, e realizza un profitto (perdita) negativo di 0. Il punto di pareggio arriva quando il profitto cambia da negativo a positivo, a un X -intercettare. Usando la formula quadratica, ottieni due intercettazioni: at X = 2.000 e X è di circa 12,35.

    Il primo (più piccolo) X -intercetta è dove la funzione cambia da negativa a positiva. Il secondo è dove il profitto diventa di nuovo una perdita (troppi ombrelli, troppi straordinari?). Quindi, 13 ombrelli produrrebbero un profitto positivo: andrebbe in pareggio (avrebbe zero profitto).

    Il massimo profitto si verifica al vertice. Usando la formula per X -valore del vertice, lo ottieni X è di circa 1.006,17. Sostituendo 1.006 nella formula, si ottiene 4.000.1542; quindi sostituendo 1,007 nella formula, si ottiene 4,000,15155.

    Vedi che Georgio ottiene un profitto leggermente maggiore con 1.006 ombrelli, ma quella frazione di centesimo non significa molto. Guadagnerebbe ancora circa $ 4.000.

  3. Chip ha impiegato 40 secondi la prima volta; il suo miglior tempo è stato di 8 secondi.

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    Perché la variabile per rappresenta il numero del tentativo, trova T (1) per il tempo del primo tentativo. T (1) = 40 secondi. Il miglior tempo (minimo) è al vertice. Risolvere per il per valore (che è il numero del tentativo),

    immagine1.jpg

    Ha avuto il miglior tempo al nono tentativo, e T (9) = 8.

  4. Il sottopassaggio è alto 50 piedi e largo 100 piedi.

    immagine2.jpg

    Il punto più alto si verifica al vertice:

    immagine3.jpg

    Il X -coordinata del vertice è 0, quindi il vertice è anche il -intercetta, a (0, 50). Il due X -intercette rappresentano i punti finali della larghezza del cavalcavia. Impostazione 50 – 0,02 X Dueuguale a 0, risolvi per X e prendi X = 50, –50. Questi due punti distano 100 unità l'uno dall'altro, la larghezza del sottopassaggio.